Μελετώντας τα… παιχνίδια στην άμμο
Της Αλίκης Bεγίρη
Καλοκαίριασε λοιπόν για τα καλά και πολλοί από εμάς έχουμε ήδη αρχίσει τα μπάνια, ενώ στον κοντινό ορίζοντα αχνοφαίνονται και οι διακοπές. Καλές και άγιες οι ξάπλες και οι καταχρήσεις, αλλά, ας το ομολογήσουμε, κάπου παραμονεύει και η πλήξη, έτσι αμάθητοι που είμαστε στη διαχείριση ενός χρόνου που ξαφνικά μάς δίνεται με τη σέσουλα.
Μιας και είναι πολύ πιθανό να στρατοπεδεύσουμε πλάι σε κάποια αμμουδερή παραλία, και να προσπαθήσουμε να ξεγελάσουμε την πλήξη μας παίζοντας με την άμμο, φτιάχνοντας κάστρα ή απλώς σκορπίζοντάς την εδώ κι εκεί νωχελικά, σκέφτηκα ότι θα είχε ενδιαφέρον να μαθαίναμε κάποια λίγα πράγματα για τον μυστηριώδη κόσμο των αμμολόφων, (sandpiles).
Για το παιχνίδι μας λοιπόν, ας φροντίσουμε η άμμος να είναι απολύτως στεγνή και ει δυνατόν κρυσταλλική, από αυτήν που συνήθως βρίσκουμε στις απάτητες βραχώδεις παραλίες των κυκλαδονήσων. Γνωρίζουμε ήδη από τότε που ήμασταν παιδιά και είχαμε όλο το χρόνο να παίζουμε και να παρατηρούμε, ότι όταν αφήναμε την άμμο να ρέει σιγά σιγά από τη χούφτα μας, αυτή ερχόταν και προσγειωνόταν σε κάτι πολύ ωραίους κωνικούς λοφίσκους, οι οποίοι όμως κάποια στιγμή δυστυχώς σταματούσαν να μεγαλώνουν. Και τούτο, διότι η επιπλέον άμμος που ρίχναμε αντί να μεγαλώνει το σωρό τον κατέστρεφε, με τη δημιουργία διαφόρων μεγεθών μικρών αμμοστιβάδων (κάτι ανάλογο δηλαδή με τις χιονοστιβάδες), οι οποίες τούς αποφόρτιζαν από την επιπλέον ποσότητα και τους σταθεροποιούσαν. Αν ήμασταν δε και πολύ τυχεροί, θα βλέπαμε καμιά φορά, η αποφόρτιση αυτή να συμβαίνει με τη βοήθεια μιας μεγάλης και άκρως θεαματικής αμμοστιβάδας. Αυτά όμως, για μας τους παιχνιδιάρηδες κοινούς θνητούς.
Γιατί, κάποια άλλα περισσότερο φιλέρευνα πνεύματα όταν γύρισαν σπίτι τους απ’ τις διακοπές διέκριναν ότι το πράγμα είχε πολύ ζουμί και γι’ αυτό στρώθηκαν στους υπολογιστές τους για να το μελετήσουν. Τι θα μπορούσε να ρωτήσει ο οποιοσδήποτε; Να για παράδειγμα: πόσο μεγάλες μπορούν να γίνουν οι αμμοστιβάδες και ποια είναι η κατανομή τους; Όπου εδώ το «μεγάλες» σημαίνει πόσοι πάνω-κάτω κόκκοι άμμου γλιστρούν από τον κώνο και πέφτουν στη βάση του. Ή να το πούμε και αλλιώς, πόσο συχνές είναι δηλαδή οι μεγάλες αμμοστιβάδες και πόσο οι μικρές;
Άλλη ερώτηση: υπακούει η κατανομή των μεγεθών τους σε κάποιο νόμο; Αν ναι, είναι ο νόμος αυτός ιδιοκτησία μόνο των αμμοστιβάδων, ή απαντάται και αλλού στη φύση; Και άλλα πολλά που δεν θα μας απασχολήσουν όμως καλοκαιριάτικα.
Κρίσιμα φαινόμενα
Με απλά υπολογιστικά, αλλά χρονοβόρα μοντέλα βρέθηκε λοιπόν ότι οι αμμοστιβάδες αποτελούν πρότυπο σύστημα μιας ενδιαφέρουσας κατηγορίας φαινομένων που ονομάζονται κρίσιμα φαινόμενα (critical phenomena), για το λόγο ότι αρκεί (θεωρητικά πάντα) η προσθήκη ενός επιπλέον κόκκου άμμου στον λοφίσκο μας για να τεθεί σε κίνηση μια ολόκληρη αμμοστιβάδα, μέχρις ότου ο λοφίσκος ηρεμήσει από το σοκ της κατολίσθησης και βολευτεί σε έναν μικρότερο.
Πριν την έναρξη της αμμοστιβάδας λέμε ότι το σύστημα βρίσκεται σε μια ασταθή κρίσιμη κατάσταση. Το ότι ο λοφίσκος φτάνει σε αυτή την άκρως «επικίνδυνη» κατάσταση, στο «τσακ» δηλαδή, οφείλεται στη συνέργεια σε τοπικό επίπεδο πολλών κόκκων μαζί, από διάφορα μέρη του λοφίσκου, μέσα από άκρως μη-γραμμικές αλληλεπιδράσεις, τις οποίες τρέχα γύρευε να προσ διορίσεις μικροσκοπικά.
Αν έχουμε την υπομονή και τα εργαλεία να μετράμε κάθε φορά το μέγεθος των αμμοστιβάδων, τον αριθμό δηλαδή των κόκκων που τις απαρτίζουν, και το κάνουμε αυτό πάρα πολλές φορές, βλέπουμε ότι η κατανομή τους ακολουθεί έναν απλό, αλλά πολύ σημαντικό νόμο, που αναπαρίσταται από την ακόλουθη εξίσωση:
N(s)=S-τ=1/Sτ
Εδώ, N(S) δηλώνει τον αριθμό των αμμοστιβάδων με το ίδιο μέγεθος S. Όπως είπαμε, S είναι ο αριθμός των κόκκων μιας τυχαίας αμμοστιβάδας.
Ο εκθέτης (-τ) δείχνει πόσο γρήγορα πέφτει η κατανομή τους, δηλαδή, πόσο μεγάλες μπορεί να γίνουν οι αμμοστιβάδες μας, και πόσο συχνά θα συμβαίνουν.
Η γραφική παράσταση της προηγούμενης εξίσωσης φαίνεται στη σχετική εικόνα, όπου ο οριζόντιος άξονας δείχνει το μέγεθος μιας αμμοστιβάδας (S), το οποίο μπορεί να μεταβάλλεται από το μηδέν μέχρι όσο θέλουμε, και ο κάθετος, τον αριθμό N(S).
Η εν λόγω κατανομή, που ονομάζεται Νόμος του Εκθέτη (Power Law), μας λέει ότι οι μεγάλου μεγέθους αμμοστιβάδες έχουν μικρότερη συχνότητα εμφάνισης από τις μικρού μεγέθους, οι οποίες και εμφανίζονται συχνότερα. Σε αντίθεση όμως με άλλες φθίνουσες κατανομές, όπως οι εκθετικές ή οι κανονικές, αυτές δηλαδή που μοιάζουν με καμπάνα, οι συγκεκριμένες είναι πολύ τεμπέλικες, τείνουν δηλαδή στο μηδέν πολύ πολύ αργά, με αποτέλεσμα να δίνουν (αναλόγως του εκθέτη), μακριές έως πολύ μακριές ουρές (η κίτρινη περιοχή).
Αυτό μεταφράζεται σε πολλές μεγάλες αμμοστιβάδες, έστω και με μικρή πιθανότητα για την κάθε μια τους. Και εδώ ακριβώς εστιάζεται η παραξενιά και το ενδιαφέρον τους.
Παραδείγματα γενίκευσης του φαινομένου
Αν τώρα ψάξουμε ολόγυρά μας στη φύση και στον πραγματικό πολύπλοκο κόσμο μας, διαπιστώνουμε ότι τέτοιου είδους (Power Law) κατανομές είναι πάρα πολύ συχνές.
Πρώτα-πρώτα στην Οικονομία. Η διαπίστωση ότι η ανισότητα στην κατανομή εισοδήματος μπορεί να περιγραφεί από έναν τέτοιο νόμο ανήκει στον Pareto, ο οποίος είχε βρει στο περίπου, ότι στην Ιταλία της εποχής του, το 80% του πλούτου (οριζόντιος άξονας), ανήκε στο 20% του πληθυσμού (κάθετος άξονας).
Οι διακυμάνσεις των μετοχών ακολουθούν παρόμοια κατανομή, καθώς επίσης και οι οικονομικές κρίσεις. Τουτέστιν, οι μεγάλες κρίσεις δεν είναι ένα τόσο σπάνιο φαινόμενο, όσο θέλουμε να πιστεύουμε. Και εδώ οι μακριές, αλλά και παχιές ουρές της κατανομής βάζουν το χέρι τους.
Οι αγορές επίσης. Ενώ η μεγαλύτερη ποσότητα προϊόντων διακινείται από malls και department stores, εντούτοις κάτω από τη μακριά και παχιά ουρά της κατανομής βρίσκονται κρυμμένα πάρα πολλά προϊόντα που διακινούνται από πληθώρα μικρών επιχειρήσεων και τα οποία στο σύνολό τους συγκροτούν μια καθόλου αμελητέα αγορά. Αν ξεφύγουμε από την οικονομία και πάμε στις πόλεις, βλέπουμε ότι η κατανομή που ακολουθούν αναλόγως του πληθυσμού τους υπακούει στον ίδιο ακριβώς νόμο. Υπάρχουν λίγες πόλεις με μεγάλο πληθυσμό, ενώ πάρα πολλές με μικρό. Αλλά τα περισσότερα παραδείγματα έρχονται από την ίδια τη φύση και κυρίως από τα φαινόμενα φυσικών καταστροφών! Πάρτε για παράδειγμα τους σεισμούς, τις κατολισθήσεις και τις πυρκαγιές. Το μέγεθός τους κατανέμεται όπως και το μέγεθος των αμμοστιβάδων, βάσει της εξίσωσης που δείξαμε παραπάνω.
Πάμε τώρα στη
βιολογία.
Ο ρυθμός μεταβολισμού στα έμβια όντα και το προσδόκιμο ζωής σαν συνάρτηση της μάζας του σώματός τους πέφτουν στα χνάρια του ίδιου νόμου.
Στη γλωσσολογία, η συχνότητα εμφάνισης των λέξεων σε ένα κείμενο ακολουθεί επίσης την ίδια κατανομή.
Τα παραδείγματα που ανέφερα ως τώρα, και δεν είναι τα μόνα, μπορεί να φαίνεται λογικό να κατανέμονται έτσι, δηλαδή με φθίνοντα τρόπο, αλλά δεν είναι τόσο απλό. Και τούτο διότι υπάρχουν πάρα πολλών ειδών φθίνουσες συναρτήσεις, αλλά σε καμία από αυτές δεν μπορούν να ταιριάξουν τα δεδομένα όλων των προηγούμενων και τόσο διαφορετικών περιπτώσεων. Μοιραία, τότε ερχόμαστε στο ερώτημα, γιατί η Φύση δείχνει τόση μεγάλη εύνοια στις κατανομές Power Law; Στην πραγματικότητα δεν υπάρχει ενιαία εξήγηση, γιατί κάθε σύστημα έχει τις ιδιαιτερότητές του και το δικό του μυστικό μηχανισμό. Αλλά η ενιαία μακροσκοπική έκφραση δεν μπορεί παρά να υπαγορεύεται από κάτι το κοινό και το θεμελιώδες που ενυπάρχει στο υπόστρωμα όλων των προαναφερθέντων συστημάτων. Και αυτό το θεμελιώδες υποπτευόμαστε ότι μπορεί να σχετίζεται με τη φρακταλική φύση του παράγωγου μηχανισμού, μιας και η συνάρτηση Power Law, από τη φύση της, έχει ενσωματωμένη την ιδιότητα της αυτο-ομοιότητας, που χαρακτηρίζει ένα φράκταλ. Αλλά, μη σκάτε, για τα φράκταλ θα μιλήσουμε μια άλλη φορά.
Το συναρπαστικό λοιπόν της παρούσας ιστορίας είναι ότι η πολυπλοκότητα είναι δυνατόν να εκφραστεί με έναν πολύ απλό νόμο, τέτοιο που να μας υπενθυμίζει ότι στα θεμέλια κάθε πολύπλοκου συστήματος, πιθανόν να κατοικοεδρεύει κάποιο πανέμορφο και σέξυ φράκταλ!
